LAUFER-CNC

Математика. Приближенные вычисления

В практической деятельности приходится иметь дело с числами, не точно, а приближенно представляющими значения величин. Приближенные числа получаются в результате измерений, округления чисел и производства различных операций над приближенными числами. Все вычисления необходимо производить в границах целесообразной точности. В технике обычно достаточно производить вычисления с числами, содержащими не более четырех значащих цифр. Если значение неизвестной величины "х" заключено между двумя известными числами "l" и "L" так, что
l < х < L,
то число "l" называется нижней границей "х", а число "L" — верхней его границей.

Погрешности. Разность между точным значением "х" и его приближенным значением "а"
| х — а | = а
называется истинной абсолютной погрешностью (или просто абсолютной погрешностью) приближенного числа.

Предельной абсолютной погрешностью "Δa" называется наименьшее число, меньше которого всегда остается абсолютная погрешность рассматриваемого приближенного числа:

т. е. истинная абсолютная погрешность всегда меньше предельной абсолютной погрешности. Пример. х = πи = 3,1415926....; приближеннее значение пи = 3,14; истинная абсолютная погрешность "а" = 0,0015926...
Принимаем предельную абсолютную погрешность Δa = 0,0016 > a; предельная относительная погрешность


Значащие цифры. Значащими цифрами числа называются все его цифры за исключением нулей слева до первой цифры, отличной от нуля, и нулей справа, стоящих вместо неизвестных цифр.
Примеры: Число 235,07 имеет пять значащих цифр; число 0,038 имеет две значащие иифры; число 2,00345 имеет шесть значащих цифр.
Нули в конце числа могут иметь два различных значения, которые поясняются следующими примерами: а) 1 ар = 100 м2; здесь нули — значащие цифры; б) на земном шаре живет около 6100000000 человек — это число имеет две значащие цифры, так как нули поставлены здесь вместо цифр неизвестных.

Округление. Приближенные числа, содержащие лишние или неверные знаки, следует округлять, сохраняя при этом лишь верные значащие цифры и отбрасывая лишние. Если первая отбрасываемая цифра равна или больше 5, то последнюю сохраняемую цифру числа увеличивают на единицу, т. е. приближенное число берут с избытком.
Действия над приближенными числами. При сложении и вычитании приближенных чисел в результате следует сохранять столько десятичных знаков, сколько их в приближенном данном числе с наименьшим числом десятичных знаков.
При умножении и делении в результате следует сохранять столько значащих цифр, сколько их имеет приближенное данное с наименьшим числом значащих цифр.
При возведении в квадрат и куб в результате следует сохранять столько значащих цифр, сколько их имеет возводимое в степень приближенное число.
Примеры:
1) 6,88 в квадрате приблизительно равно 47,3.
2) 0,071 в кубе приблизительно равно 0,00036.

При извлечении квадратного и кубического корней в результате следует брать столько значащих цифр, сколько их имеет приближенное подкоренное число.
В промежуточных результатах следует сохранять одной цифрой больше, чем было указано в приведенных выше правилах. Если некоторые данные имеют больше десятичных знаков (при сложении и вычитании) или больше значащих цифр (при умножении, делении, возведении в степень, извлечении корня), чем другие, то их предварительно следует округлять, сохраняя лишь одну лишнюю цифру. Правила сокращенного умножения и деления. Значность числа. Число называется (+n)-значным, если целая часть его содержит n значащих цифр, и (—n)-значным, если в правильной десятичной дроби между запятой и первой значащей цифрой содержится n нулей.
Примеры:
Числа 1235,47; 0,47; 0,0053; значность: 4; 0; —2.
Значность произведения равна сумме значностей сомножителей, уменьшенной на единицу, если первые несколько цифр произведения образуют число большее, чем число, образованное таким же количеством цифр сомножителей; значность произведения равна сумме значностей сомножителей, если первые несколько цифр его образуют число меньшее, чем такое же количество цифр сомножителей.
Примеры:
1) 512,7 * 1,39 = 713; значность произведения 3 + 1 — 1 = 3.
2) 28,14 * 0,03649 = 1,027; значность произведения 2 + (—1) = 1.
Значность частного равна разности значностей делимого и делителя, увеличенной на единицу, если первые несколько цифр делимого образуют число большее, чем такое же количество первых цифр делителя; значность частного равна разности значностей делимого и делителя, если первые несколько цифр делимого образуют число меньшее, чем такое же количество цифр делителя.
Примеры:
1) 37,839 : 17,931; значность частного 2 — 2 + 1 = 1.
2) 0,153 : 0,00748; значность частного 0 — (—2) = 2.
Правило сокращенного умножения. Взяв за множимое менее точное число, подписывают под ним множитель в перевернутом виде с таким же количеством цифр или на одну больше так, чтобы последние цифры этих чисел и частных произведений находились друг под другом. Умножение производится справа налево, причем каждая цифра множителя умножается на часть множимого, начиная с первой цифры последнего и кончая цифрой, расположенной над соответствующей цифрой множителя. При нахождении таким способом частных произ­ведений необходимо прибавлять к каждому из них округленное количество десятков, полученное от умножения соответствующей цифры множителя на только что отброшенную цифру множителя. Значность произведения определяется согласно приведенному выше правилу значности.
Примеры:


Правило сокращенного деления. При делении двух приближенных чисел запятые отбрасывают и в более точном числе — делимом или делителе — оставляют столько цифр (отбрасывают или заменяют нулями), чтобы при делении частное получалось однозначным. При умножении на делитель получаемых таким образом отдельных частных в делителе всякий раз отбрасывают по одной цифре и производят умножение по правилу сокращенного умножения. Значность частного определяется согласно приведенному выше правилу значности частного.
Примеры:


ПРИБЛИЖЕННЫЕ ФОРМУЛЫ
Вычисления с малыми числами (a << 1) и с числами, мало отличающимися от единицы:



  • Связь с помощью электронной почты, почтового сообщения и телефоной связи
    Адреса электронной почты:
    info@cnc.im , info@cnc.uno
    Контакт-центр:
       0 (800) 75-05-07
       7 (958) 756-89-56
       972 (03) 376-04-43
       48 (22) 390-64-60


  • Связь с помощью WhatsApp, Viber
    Только учебные вопросы:

    +38 (093) 064-18-24    
    +38 (095) 064-18-24    
    +38 (096) 064-18-24    

    Показать все номера

  • Протестировать систему обучения, зайти на демо-занятие, связаться с менеджером компании
    Здесь можно протестировать Ваше соединение с площадкой для проведения онлайн-занятий:

    Зайти на вебинар

    - Работа с GOTOMEETING



  • График работы:
    ПН-ПТ, 09:00-18:00 (GMT+3)
    СБ-ВС, 11:00-18:00 (GMT+3)